Энергия фотонов, излучаемых лазером (в главной спектральной линии), равна (1), где E_g – ширина запрещённой зоны в GaAs, E_e и E_h – энергии основных состояний электрона и дырки в потенциальной яме (взятые по модулю, отсчитываемые от границ запрещённой зоны), образуемой гетеропереходом, на котором основан данный лазер. Эта потенциальная яма, вообще говоря, имеет конечную глубину как для электрона, так и для дырки. Из условия задачи ясно, что глубина ямы по энергии по порядку величины равна (2).

Оценим, насколько глубока эта яма, и можно ли её считать бесконечно глубокой. Критерием такой оценки является (как известно из квантовой механики) безразмерный параметр В(3), где m – эффективная масса, d – ширина ямы (ширина гетероперехода). Яма считается глубокой, если В>>1.

Расчёт показывает, что для электрона B ≈ 50, а для дырки B ≈ 340, то есть яму можно в обоих случаях считать бесконечно глубокой, что несколько облегчает нахождение уровней энергии. Уровни энергии бесконечно глубокой ямы даются выражением (4), а энергии основного состояния соответствует n = 1. Значит, энергия фотона равна (5).

Учитывая связь длины волны с частотой (6), легко получить выражение для длины волны: (7).

Расчёт даёт значение λ ≈ 760 нм.

Вычислим также энергию фотона: E_ф ≈ 2,6•10^-19 Дж.

2. Оценка минимальной и максимальной интенсивности на выходе из лазера.

Введём следующие обозначения: N_g – концентрация электронов в «основном» состоянии (нижний уровень на рисунке 1), N₂ – концентрация электронов в «возбуждённом» состоянии (верхний уровень на рисунке 1), n – концентрация фотонов в резонаторе (кристалле GaAs). Такие обозначения часто вводятся в физике лазеров при рассмотрении четырёхуровневой схемы накачки (см. рис. 2). «Быстрая релаксация» означает, что можно положить N₃ ≈ 0 и N₁ ≈ 0. Наш лазер можно приближённо считать работающим по четырёхуровневой схеме. Действительно, накачка осуществляется за счёт напряжения на полупроводниковых слоях AlGaAs, между которыми находится двойной гетеропереход. Тогда N_g и N₃ – это уровни энергии, соответствующие слоям, а N₁ и N₂ – уровни, соответствующие рисунку 1 (уровни в GaAs). Для сравнения на рис. 3 приведена схема уровней лазера, почти такого же, как в данной задаче (отличается порядком размеров рабочей области), взятая из книги Звелто «Принципы лазеров».

Для четырёхуровневой схемы накачки запишем так называемые скоростные уравнения: (8)

Смысл этих уравнений достаточно прост. Первое уравнение выражает полную концентрацию электронов N через N_g и N₂. Второе уравнение описывает баланс концентрации электронов в возбуждённом состоянии. Первый член в его правой части – это скорость накачки, второй – это скорость изменения концентрации за счёт вынужденных переходов (вынужденного излучения), а третий – за счёт спонтанных переходов. Здесь τ – среднее время жизни электронов в состоянии N₂, а σф – сечение фотопоглощения (сечение перехода с нижнего уровня на верхний на рис. 1, равное сечению обратного перехода).

Третье уравнение описывает баланс концентрации n фотонов в резонаторе. В нём τс – время жизни фотона в резонаторе.

Для оценки пороговой интенсивности рассмотрим стационарный режим, т.е. положим (9). Отметим также, что инверсия населённостей равна (10).

Из (8) следует, что генерация возможна лишь при некотором пороговом значении населённости N₂(11), которое в стационарном режиме не зависит от скорости накачки (при увеличении скорости накачки растёт концентрация фотонов, но не инверсия населённостей). Подставляя (11) в (8), можно найти пороговую скорость накачки, при которой начинается генерация:(12), причём при малой (пороговой) скорости накачки вторым членом справа можно пренебречь, и тогда имеем:(13).

Зная пороговую скорость накачки, можно оценить интенсивность на выходе. Действительно, мощность накачки имеет тот же порядок, что и мощность излучения, поэтому(14), где E_ф – энергия фотонов, которую мы оценили в предыдущем пункте, S₀ – площадь поперечного сечения резонатора, P – мощность излучения. Значит, минимальная интенсивность равна (15).

Время жизни возбуждённого состояния в низкоразмерной структуре можно оценить из соотношения неопределённостей Гейзенберга:(16)

Время жизни фотона в резонаторе выражается через параметры резонатора (показатель преломления для оценки положим равным единице):(17)

Сечение фотопоглощения в линейной среде с двумя уровнями можно найти по формуле (18), где ΔE – ширина спектральной линии по энергии. Эту ширину можно оценить как глубину потенциальной ямы: (19)

Расчёт показывает, что (20). Тогда имеем:(21). Подставляя (16), (17) и (21) в (15), имеем: (22)

Вычисления дают I_min ~ 10⁹ Вт/м².

Теперь оценим максимально возможную интенсивность на выходе. Для этого учтём, что скорость накачки связана с плотностью тока накачки:(23), где e – заряд электрона. Тогда можно записать выражение, аналогичное выражению (15):(24).

Оценим максимальную плотность тока накачки:(25), где a – характерный период решётки, a₀ – боровский радиус, а – время жизни возбуждённого состояния, оцененное по (16); примерно тот же масштаб времени даёт деление размера молекулы на скорость теплового движения при 300 К. Собирая всё вместе, получаем: (26)

Вычисления дают I_max ~ 10¹³ Вт/м².

3. Длина волны, спектр и мощность квантовоточечного лазера.

Введём следующие обозначения: r – размер (диаметр) квантовой точки, d – диаметр диска. Условие образования стоячей волны (моды «шепчущей галереи») для классической волны имеет вид πd = nλ, где λ – длина волны, n – натуральное число (номер моды). Отсюда получаем спектр возможных длин волн: (27).

Имеем длины волн в нанометрах: 5654; 2827; 1885; 1415; 1130; 942; 808; 707; …

Однако если быть более точным, то нужно учитывать, что волна представляет собой набор квантовых осцилляторов, которые имеют нулевую моду колебаний, причём ей соответствует (с точки зрения энергетического спектра) (28). Поэтому формула для спектра длин волн с квантовой поправкой будет иметь вид: (29).

Имеем длины волн в нанометрах: 3758; 2260; 1615; 1256; 1027; 869; 754; …

Нужно определить номер моды n волны, которая распространяется в лазере (очевидно, n > 1, поскольку волна распространяется вдоль края диска). Уточним механизм генерации излучения. Если предположить, что длина волны определяется чисто электронными переходами в квантовых точках InAs (где эффективная масса электрона m_e = 0,024m₀), то энергия фотонов равна (30), и длина волны определяется выражением (31). Но расчёт показывает, что в этом случае λ > 100000 нм, что не попадает в нужный диапазон длин волн. Квантовые точки, о которых говорится в задаче, имеют большие размеры (~25 нм), поэтому расстояние между уровнями энергии в них мало. Этим расстоянием (оно равно (32)) можно пренебречь по сравнению с шириной запрещённой зоны в InAs и в GaAs. Значит, генерация излучения происходит за счёт гетероперехода между InAs и GaAs, подобно тому, как в предыдущей части задачи. Валентные орбитали в InAs лежат выше по энергии, чем в GaAs. Поэтому электронная плотность частично смещается в сторону GaAs, и энергия фотонов определяется шириной запрещённой зоны в GaAs, т.к. они испущены при переходе электронов через эту запрещённую зону. Известно, что Eg(GaAs) = 1,5 эВ (это дано в первой части задачи).

Длина волны определяется выражением (33).

Расчёт даёт значение λ ≈ 830 нм (для получения более точного значения нужно рассматривать гетеропереход более подробно).

Это ближе всего к шестой моде стоячей волны (n = 6). Следовательно, λ = 869 нм.

Оценим ширину спектральной линии. Ширина в шкале длин волн связана с шириной в шкале частот (34),(35), т.е(36).

Оценим ΔE для разных механизмов уширения.

а.) Естественное уширение. ΔE =0,02•10-19 Дж. (37)

б.) Разность уровней энергии в квантовых точках. ΔE =0,004•10-19 Дж.(38)

в.) Тепловое уширение. = 0,007•10-19 Дж при T = 50 К и 0,04•10^-19 Дж при T = 300 К.

Видим, что при 50 К уширение является естественным, а при 300 К – тепловым.

В первом случае Δλ ≈ 10 нм, а во втором Δλ ≈ 20 нм.

Поскольку размеры квантовых точек столь велики, что не определяют длину волны излучения, то эта длина волны почти не зависит от дисперсии размеров и от тепловых флуктуаций размеров (тепловые флуктуации размеров точек можно оценить как ~ 1 нм (39)).

От температуры зависит только ширина спектральной линии, и характер этой зависимости найден выше: (40)

Мощность лазера определяется числом квантовых точек, участвующих в генерации волны. Оценим вероятность отдельно взятой точки A участвовать в генерации волны. Пусть некоторая точка B испустила фотон. В этот момент (точнее, малый промежуток времени) в генерации этой же волны могут участвовать только те точки, которые испускают фотон синфазно с точкой B. Эти точки находятся в малых сегментах рабочей поверхности, которые представляют собой участки длиной порядка Δλ около пучностей волны. Значит, вероятность точки A «попасть в волну» точки B равна (41), а полная вероятность испустить фотон вместе с какой-либо другой точкой равна (42), где N – число точек на рабочей поверхности, w – вероятность одной точки испустить фотон (зависит от мощности накачки). Тогда вероятность того, что в генерации участвуют x точек, равна (43), она быстро падает с x и пропорциональна числу квантовых точек на рабочей поверхности (что достаточно очевидно); средняя мощность также пропорциональна числу точек и равна (44)

4. Накачкой в данном лазере может служить излучение с частотой, кратной частоте излучения лазера, падающее на поверхность («колонну»), такое, чтобы сечение фотопоглощения для этой частоты было как можно большим. Для равномерного возбуждения точек будет лучше, если оно будет циркулярно поляризовано. Другой вариант – накачка акустической волной. Возможна также электрическая накачка (например, переменным потенциалом, подаваемым на «колонну»). В этом случае энергия будет поступать в квантовые точки подобно тому, как она поступает в светодиод индикаторной отвёртки (и других подобных приборов), приставленной к фазе электросети. Для этого точки должны иметь достаточную электроёмкость.

Выход лазерного импульса из резонатора обеспечивается такими длинами волн, которые максимально поляризуют участок рабочей поверхности диска. Для этого частота волны должна быть равна одной из собственных частот колебаний молекул GaAs в кристалле (условие резонанса).

5. Другие принципы работы лазеров на низкоразмерных структурах.

Можно выделить, по крайней мере, три направления будущего развития лазеров на квантовых точках. Первый путь – создание лазера на основе одной квантовой точки, помещенной в микрорезонатор. Здесь возможны два режима: лазерный, когда фотоны накапливаются в резонаторе, и режим фотонного турникета, когда фотоны по одному высвечиваются в течение каждого цикла накачки. Для периодической накачки используется поверхностная акустическая волна, а также резонансное туннелирование в режиме кулоновской блокады. На втором пути находится создание лазеров с распределенной обратной связью, когда в микрорезонаторе формируется периодическая структура квантовых точек с периодом, равным длине волны лазерного излучения. Предполагается, что это позволит значительно снизить пороговый ток и увеличить мощность. В качестве третьего пути можно выделить лазер дальнего ИК диапазона, в котором осуществляются оптические переходы между подуровнями в одной зоне. Весьма привлекательной выглядит также идея создания каскадного лазера на квантовых точках.

Одним из наиболее широко применяемых лазеров является инжекционный полупроводниковый лазер. Он применяется в лазерных принтерах, проигрывателях и дисководах для компакт-дисков. Полупроводниковые лазеры являются неотъемлемым элементом линий волоконной оптической связи. Такое широкое применение они нашли благодаря исключительно малым размерам и высокому КПД. Однако полупроводниковые лазеры генерируют сравнительно широкий спектр частот. Это обстоятельство ограничивает возможность их применений. Поэтому исследователи и инженеры разрабатывают методы сужения спектра генерации полупроводниковых лазеров с помощью внешних резонансных устройств. Моды шепчущей галереи в кварцевых микрошарах, а также асферических частицах являются одним из лучших кандидатов для решения проблемы частотной стабилизации полупроводникового лазера.