Давно идут споры, относить ли высокомолекулярные соединения, дендримеры, белки и пр. к нанообъектам. В любом случае, это вещества, которые самым непосредственным образом используются для создания наноматериалов и наноустройств. Число атомов, входящих в состав макромолекул, имеет порядок сотен тысяч или миллионов. Атомы, из которых состоят полимеры, образуют линейные или разветвлённые цепи, а также пространственные трёхмерные структуры, в том числе упорядоченные. Исследование полимеров чрезвычайно важно и с фундаментальной, и с практической точек зрения.

Приведите примеры использования макромолекул в нанотехнологиях (3 балла).

Представим, что мы изучаем упругие свойства линейных макромолекул (неразветвлённых цепочек из повторяющихся структурных звеньев). При небольшом растяжении эти молекулы подчиняются закону Гука. Наша задача – измерить коэффициент жёсткости молекулы или отдельного структурного звена.

Некто предложил для этого следующий эксперимент. Измерим длину молекулы в недеформированном состоянии. Молекула состоит из n = 200000 структурных звеньев. Каждое звено будем считать состоящим из «пружинки», жёсткость которой требуется измерить, и «грузика», масса которого известна и равна m = 1,8·10^{-25 кг.} Затем подвесим молекулу за один конец на острие специального зонда в сосуде, в котором создан высокий вакуум. Молекула растянется под действием силы тяжести. Измерив длину растянутой молекулы, можно вычислить коэффициент жёсткости k одного структурного звена.

Вычислите, насколько изменится длина молекулы под действием силы тяжести, если коэффициент жёсткости её структурного звена равен k = 0,04 Н/м. Сделайте вывод о том, можно ли было измерить этот коэффициент в предложенном эксперименте (3 балла).

Предложен другой эксперимент. Возьмём макромолекулу (пусть число её структурных элементов равно n = 200000), подвесим её за один конец в сосуде, где создан высокий вакуум, как в предыдущем эксперименте. К нижнему концу молекулы прикрепим микрочастицу, масса которой много больше массы молекулы (пусть масса этой микрочастицы равна m = 1,2·10^-16 кг).^. Вблизи сосуда (сверху над зондом) поместим источник звука. Будем менять частоту источника и выясним, при какой частоте амплитуда колебаний микрочастицы максимальна. По этим данным можно вычислить коэффициент жёсткости k одного структурного звена. Представим, что такой эксперимент проведён, и максимум амплитуды колебаний микрочастицы наблюдается, когда длина звуковой волны в воздухе равна λ = 15 см.

Вычислите коэффициент жёсткости k одного структурного звена по этим данным. Массами структурных звеньев для простоты пренебречь (3 балла).

«Среднее звено». Представим, что длинная макромолекула общей массой M = 10^–18 кг подвешена за два конца к горизонтальной подложке. При этом оказалось, что силы, действующие на молекулу в точках подвеса, образуют угол α = 60° с горизонтом.

Найдите силу натяжения среднего звена молекулы (3 балла).

«Дискретность и непрерывность». При рассмотрении упругих свойств можно пользоваться различными моделями макромолекулы. В первых вопросах этой задачи была рассмотрена дискретная модель молекулы: молекула состоит из конечного числа структурных звеньев, каждый из которых можно приближённо смоделировать грузиком и пружинкой. Параметрами этой модели являются масса «грузика» m, коэффициент жёсткости пружинки k и длина структурного звена L.

Однако в некоторых случаях может оказаться существенной «эффективная толщина» молекулы d. В этом случае молекулу можно модельно рассматривать как упругий жгут диаметра d, сделанный из материала плотностью ρ с модулем упругости (модулем Юнга) E. Параметрами этой модели являются d, ρ и E, причём последние два из них необходимо вычислить, зная параметры дискретной модели m, k и L.

Выведите формулы, позволяющие рассчитывать параметры ρ и E, если известны параметры дискретной модели m, k и L, а также эффективный диаметр молекулы d (2 балла).

Насколько увеличится длина резинового жгута, имеющего в недеформированном состоянии длину L₀ = 1 м, плотность ρ = 400 кг/м³ и модуль упругости E = 16000 Н/м², если его вертикально подвесить за один конец (3 балла)?