Фрактальная геометрия обязана своим возникновением в современном виде Бенуа Мандельброту - французскому и американскому исследователю. Б.Мандельброт родился в Польше. Его мама была врачом, а отец - галантерейщиком. Еще до войны семья переехала в Париж. Там, благодаря своему дяде-математику, Мандельброт увлекся этой прекрасной наукой. В Париже он поступает в школу, но впоследствии ее бросает. После войны Бенуа Мандельброт поступает в Сорбонну, в которой проявляет недюжинные математические, а особенно геометрические способности, решая даже алгебраические задачи геометрическим путем. Строгого и исчерпывающего определения фрактала не существует. Однако, как говорил сам Б.Мандельброт, фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому. Обычные геометрические объекты имеют целочисленную размерность, но, как уже упоминалось в предыдущей публикации, фракталы имеют дробную размерность. Она была введена Феликсом Хаусдорфом - немецким математиком. Во времена гитлеровской Германии он, как еврей, подвергался известным преследованиям. Хаусдорф пытался эмигрировать с семьей в США, но все попытки были безуспешны. Потеряв свой преподавательский пост в Ляйпцигском университете еще в 1935 и под угрозой отправки в концентрационный лагерь, в 1942 Феликс Хаусдорф принял смертельный яд. Предшественниками современной фрактальной геометрии являются К.Вейерштрасс, Ф.Хаусдорф, Г.Кантор, Г.Гюлиа, Х.Кох и другие. Ими в конце 19-начале 20-го века были созданы первые представления и графические образы структур, которые впоследствие были названы фрактальными. Некоторые из них представлены на рисунках 1-6.
С понятиями фракталов тесно связано понятие хаоса, бифуркаций и самоорганизации. Все окружающие нас системы в той или иной мере хаотичны. Это значит то, что в хаотическом мире предсказать, какие вариации возникнут в данное время в данном месте, трудно. Трудно абсолютно точно предсказать, что случится с системой в следующий момент времени. Можно говорить лишь с некоторой вероятностью о границах, но не о положении точки (некоторой величины) в их пределах. Это положение довольно сильно напоминает соотношение неопределенностей Гейзенберга в квантовой механике. Современные представления о динамическом хаосе связаны с понятиями бифуркаций и теорией катастроф. Упрощенно говоря, бифуркация - это "выбор" системы, находящейся в точке равновесия, пойти по тому или иному пути развития под влиянием внешних факторов (рисунок 6). Последовательность бифуркаций (выборов) системы представляет собой морфологию системы, ее развитие. Э.Лоренц (американский метеоролог) известен как автор "эффекта бабочки", обобщающего в нескольких словах положения теории бифуркаций, катастроф, хаоса: бабочка, взмахивающая крыльями в Айове, может вызвать лавину эффектов, которые могут достигнуть высшей точки в дождливый сезон в Индонезии.
Сценарию возникновению хаоса из порядка противоречит сценарий ему противоположный. Теория самоорганизации. По сути - одно из базовых понятий современной нанонауки. Самоорганизация - спонтанное возникновение упорядоченности в сложной открытой системе, появление организованных в пространстве и/или времени структур и процессов в отсутствие упорядочивающих факторов. В некоторых источниках более употребительным является термин "самосборка", в принципе по смыслу ничем не отличающийся от "самоорганизации". Еще в 60-70-х годах прошлого века немецкий физик Герман Хакен и бельгиец русского происхождения Илья Пригожин описали появление сложных упорядоченных структур и процессов в неравновесных системах. В качестве простого примера самоорганизации можно привести коррелированную осцилляцию атомов, когда по мере увеличения амплитуды сигнала накачки вместо беспорядочных не связанных цугов волн появляется практически бесконечно длинная синусоидальная волна. Это типичный пример образования порядка из хаоса. На смену хаосу приходит порядок. Отсюда и термин "синергетика", предложенный Хакеном, - согласованное действие - междисциплинарная наука о самоорганизации. Периодическое выпадение осадка нерастворимой соли при диффузии одного из реагентов в двумерном пространстве, заполненном другим реагентом, было обнаружено еще в конце 19-го века Р.Лизегангом и теперь известно как кольца Лизеганга (рисунок 7) - пример другой самоорганизции. Схожей природы являются концентрические узоры в малахите, агате.
Многочисленны примеры самоорганизации в космологии, физике, химии, биологии, техногенных системах (компьютеры). Непредсказуемое поведение наблюдается и в простых системах, а в сложных его наличие просто неизбежно. Черты социального взаимодействия исследуются в группе роботов.
Одним из наиболее ярких представителей фрактального мира в нанотехнологии является молекула дендримера. Синтезированные дендримеры и дендритоподобные полимеры представляют собой вязкие жидкости или твердые аморфные вещества, хорошо растворимые в большинстве органических растворителей. Молекула дендримера - это шароподобная фрактальная (ограниченно, как и все объекты живой природы) структура, разветвляющаяся по всем направлениям. Дендример чем-то напоминает цветную капусту. Дендримеры называют молекулярными нанообъектами. Это связано с тем, что дендримеры принципиально отличаются от обычных полимерных молекул. Полимерная молекула представляет собой длинную цепь неразветвленных мономерных звеньев. По мере движения, например в растворе, молекула сталкивается с другими атомами или молекулами и потому меняет свои размеры и форму. Дендримеры же имеют определенную форму и размеры. Можно сказать, что они одновременно есть молекулы и частицы: образуют молекулярные растворы, способны к дальнейшим превращениям, в то же время, они могут образовывать тонкие слои, которые невозможно получить из классического полимера. Их часто называют полимерами нового поколения, им предсказывают будущее материалов специального назначения. Предсказуемые и воспроизводимые размеры макромолекул дендримеров делают их идеальными стандартами в спектроскопии. Поскольку дендримеры имеют совершенную сферическую форму, их можно использовать в качестве компонентов смазочных материалов. Или использовать в качестве объектов для адресной доставки лекарств в организм человека.Также дендримеры могут найти применение в энергетике. Представим, что молекула дендримера - это крона дерева. Разветвленная крона будет поглощать световую энергию и передавать ее в центр молекулы дендримера, куда помещен другой фотоактивный центр. Скажем, появляется возможность трансформации частоты падающего излучения, хотя возможны и другие варианты, вплоть до создания светящихся панелей - освещения будущего.
Интересно, что фракталы используются в современной компьютерной графике для построения изображений. Фрактальна сеть Интернет, связывающая все уголки земного шара, сеть, которой каждый из нас пользуется ежедневно.
Список использованных источников
1 Исаева В.В., Касьянов Н.В. Фрактальность природных и архитектурных форм, Культура, Весник ДВО РАН, №5, 2006
2 Ю.Д.Семчиков Дендримеры - новый класс полимеров. Соровский образовательный журнал №12, 1998
3 Н.Г.Васецкая О движении полимерной молекулы в жидкости. Труды Математического института АН СССР, Т.186,1989
