Геометрия и размер фуллерена. Фуллерен А имеет структуру, которая получается при срезании всех вершин некоторого правильного выпуклого многогранника М (см. рис. 1) так, что все новые грани представляют собой правильные многоугольники.
1. Исходя из приведенных данных, выведите формулу фуллерена А, общее количество ребер и граней, число пяти- и шестиугольных граней А. Приведите расчет.(1 балл)
Ответ: Многогранник М – икосаэдр. Количество вершин усеченной фигуры = число ребер икосаэдра*2 = число вершин икосаэдра*5 = 60. Таким образом, формула А – С60.
Количество пятиугольников совпадает с количеством вершин икосаэдра: 12.
Количество шестиугольников совпадает с количеством граней икосаэдра: 20.
Всего граней 32.
Количество ребер А по сравнению с М увеличилось на количество ребер в образовавшихся при срезании всех вершин икосаэдра пятиугольниках: 30+12*5=90.
2. В фуллеренах каждый атом углерода соединен с соседними атомами одной π-связью и 3 σ-связями. Сколько π-связей и сколько σ-связей содержит молекула А? Приведите расчет. (1 балл)
Ответ: В образовании каждой связи участвуют по два атома. Значит, σ-связей в фуллерене 60*3/2 = 90 (столько же, сколько ребер), π-связей в 3 раза меньше, то есть 30.
3. Размер наночастиц играет важную роль в их способности проникать в биологические объекты. Используя только приведенные данные и школьную тригонометрию, рассчитайте размер фуллерена А. Принять длину всех C-C связей, равной как в графите, 0,142 нм, размерами атомов пренебречь. Для расчета рассмотреть систему 3-х взаимно перпендикулярных прямоугольников, опирающихся на ребра икосаэдра (см. рис. 2), размером молекулы считать диаметр описанной вокруг А сферы. (5 баллов)
Ответ: Радиус описанной вокруг фуллерена А сферы равен OY – расстоянию от центра фуллерена до атома углерода в вершине усеченного икосаэдра.
Сначала рассмотрим три перпендикулярных прямоугольника, опирающихся на ребра икосаэдра, как приведено на рис. 2. условия задачи. Эти прямоугольники равны, поскольку их меньшие стороны являются ребрами икосаэдра, а большие стороны являются диагоналями равных правильных пятиугольников, образованных ребрами икосаэдра. Следовательно, перпендикуляр OX опущенный из центра O на середину грани икосаэдра BG равен половине AC (большей стороны прямоугольника и, одновременно, диагонали пятиугольника ABCDE).
Найдем длину AC, для этого рассмотрим пятиугольник ABCDE, образованный ребрами икосаэдра (Рис.3б.).
Сумма углов пятиугольника равна 180°(5-2). Угол при вершине пятиугольника 180°*3/5 = 108°. Тогда, по теореме косинусов для треугольника ABC, диагональ AC пятиугольника ABCDE равна
a*(2-2cos(108°))½= a*2*cos(π/5) = a*φ
где a – длина стороны икосаэдра, φ - численный коэффициент (≈ 1.618), широко известный как «золотое сечение».
Также, диагональ AD пятиугольника ABCDE можно найти из подобия треугольников CBF и DAF
x/a = a/y, y = x+a; решая систему уравнений, получаем y = a*(1+5½)/2= a*φ.
Следовательно, OX = ½*AD = a*φ/2
Теперь рассмотрим треугольную грань ABG (Рис.3в) икосаэдра и образовавшуюся из нее правильную шестиугольную грань фуллерена. Поскольку отрезок VY параллелен AG, то треугольники ABG и VBY подобны, и, следовательно, треугольник VBY тоже правильный.
Значит BY = YZ = ZG = а/3.
Обозначив длину С-С связи (отрезок YX) как z получаем: YX = z/2, a = 3*z,
и выражая OX через z, получаем OX = a*φ/2 = z*3/2*φ
По теореме Пифагора для треугольника OYX находим длину отрезка OY – искомый радиус описанной вокруг фуллерена окружности:
OY = (OX2 + YX2)½ = ((z/2)2 + (z*3/2*φ)2)½ = z/2*(1+9φ2)½
Таким образом, диаметр фуллерена будет равен:
D =2*OY = z*(1+9φ2)½ = 0,142 * (1+9*(1.618)2)½ ≈ 0,142*4,956 ≈ 0,704 нм
Реальный диаметр составляет 0,71 нм, что неплохо совпадает с расчетом.
От фуллерена к нанотрубкам. Из фуллерена А возможно вырастить другие «родственные» фуллерены и нанотрубки. Для этого в экваториальную плоскость молекулы А последовательно «встраивают» слои углерода, содержащие необходимое количество атомов (см. рисунок 4).
4. Рассчитайте формулу фуллерена Б. (1 балл) Выведите общую формулу приведенного гомологического ряда. (1 балл)
Ответ: По рис. 4. из условия видно, что добавление новых атомов углерода происходит по связям, отходящим от двух «вершин» пятичленных циклов одной из «половинок» фуллерена С60. Поскольку вдоль «линии разреза» находится пять пятиугольных граней, то в одном слое «добавляется» 10 атомов углерода.
Таким образом: формула Б – С70, гомологи – С60+10n
5. Можно условно считать, что первый фуллерен, для которого выполняется условие L > 100*D, является самой короткой нанотрубкой (обозначим ее как Х). Рассчитайте формулу Х. Принять, что диаметр молекул при переходе от A к X не изменяется и длины всех связей одинаковы. (3 балла)
Ответ: Длина нанотрубки L складывается из длины двух полусфер и длины вставки, кратной числу добавленных слоев (см. рисунок 5):
L = D/2 + n*l + D/2 = D + n*l.
Каждый слой вставки увеличивает длину нанотрубки на l – половину длины малой диагонали правильного шестиугольника (хотя шестиугольник немного согнут, при такой деформации длина малых диагоналей, перпендикулярных направлению изгиба, не изменяется). Длина половины диагонали будет равна l = z*sin(60°).
По условию имеем: L > 100*D,
значит D + n*l > 100*D
Преобразуем n > 99*D/l или n >99*(1+9φ2)½/sin(60°)
Тогда получаем n > 566.55
Поскольку n – целое, то n = 567 (примечание: расчет не по общей формуле, а с использованием округленных значений D приводит к ответу, заниженному на несколько единиц). Таким образом, нанотрубка Х имеет формулу С60+10*567 т.е. С5730.
Свойства нанотрубок. Стенка любой нанотрубки является свернутым вдоль направления вектора R листом графита. R равен векторной сумме nr1 и mr2 (r1 и r2 задают ячейку графита, n и m – численные коэффициенты, рис. 6).
Различают следующие типы нанотрубок:
- «зубчатые», n = m
- зигзагообразные, m = 0 или n = 0
- спиральные или хиральные нанотрубки (все остальные значения n и m)
Если для трубки 2m + n = 3k, где k – целое число, то трубка имеет металлическую проводимость, иначе – полупроводник.
6. Найдите (n, m) и определите тип нанотрубки X. Какой будет ее проводимость? (3 балла)
Ответ: В случае нанотрубки X вектор R (см. рисунок 7) проходит по большой диагонали шестиугольников, следовательно, n = m. Тогда тип нанотрубки – «зубчатая».
Теперь находим R = 5r1 + 5r2 (см. рисунок, вектор R проходит через 10 атомов),
получаем n = m =5,
тогда 2*5+5 = 15 – делится на 3, следовательно, нанотрубка X имеет металлическую проводимость.