В наномире есть все – даже машины, которые способны перевозить молекулы, кластеры и другие наногрузы или же просто кататься без дела. Представим себе нано-грузовик, у которого роли передней и задней пар колес выполняют одинаковые нанотрубки, закрытые с обеих сторон (см. рис. 1).
Колеса такого грузовика не являются идеальными цилиндрами. Они состоят из шестиугольников со стороной 0.14 нм, и в поперечном сечении представляют собой не окружность, а правильный N-угольник (см. рис 2).
При движении грузовик будет все время подпрыгивать, тратя на каждый прыжок энергию mgh, где m – масса грузовика, h – высота прыжка, которая зависит от числа шестиугольников в сечении колеса – N.
Массу нано-грузовика при больших N можно описать формулой:
m(N) = m1 + m2N + m3N2,
где m1 = 10 000 а.е.м., m2 = 700 а.е.м, m3 = 25 а.е.м.
1) Объясните вид зависимости m(N) (1 балл).
2) Определите зависимость энергии Е, необходимой для одного шага, от N (3 балла).
3) Определите значение N, для которого затраты энергии на один шаг минимальны, и рассчитайте эти затраты. (4 балла)
Указание. Примите, что при малых углах можно использовать приближенные выражения для тригонометрических функций: sin(x) ≈ x, cos(x) ≈ 1 – x2/2.
Условия задачи можно скачать в виде файла.
