Рассмотрим всевозможные повороты однослойных трубок друг относительно друга в двухслойной нанотрубке. Положение каждой из трубок будем определять через углы φ1 и φ2, каждый из углов задает в пространстве положение выделенной (для определенности нулевой) ячейки трубки. Нетрудно понять, что энергия связи трубок как функция этих углов является двоякопериодической функцией от φ1 и φ2. Это связано с тем, что при повороте каждой из трубок вдоль своей оси симметрии, не изменяется взаимная ориентация трубок. Соответственно раскладывая энергию связи в ряды Фурье, имеем (1), где двойное суммирование проводится по всевозможным значениям целых чисел
Это условие из (2.7) приводит к отличным от нуля коэффициентам Фурье в энергии связи am1, m2 ≠ 0 при условии m1n1=-m2n2, которое сводит двойное суммирование в (1) к одинарному. Если числа n1, n2 не имеют общих делителей, то функция (1) является периодической с периодом (3) для аргумента (φ1- φ2). В случае, если числа n1 и n2 имеют общий делитель g, энергия связи (1) может быть записана в виде (4) где суммирование проводится по целым числам m.
Рассмотрим всевозможные сдвиги трубок друг относительно друга в двухслойной нанотрубке. Положение каждой из трубок в пространстве будем определять через z1 и z2, каждый из этих параметров задает положение выделенной (для определенности нулевой) ячейки трубки. Нетрудно понять, что энергия связи трубок как функция этих параметров является двоякопериодической с периодами равными трансляциям вдоль каждой из трубок (5)
Tr1 и Tr2 – значения трансляций для внутренней и внешней трубки. Заметим, что сдвиг внутренней трубки на величину
Это условие из (5) приводит к отличным от нуля коэффициентам Фурье aq1,q2 ≠ 0 для q1 = -q2 и формула (5) может быть преобразована к виду (7), где суммирование проводится по всем q, для которых q = q1 = -q2.
Если отношение трансляций однослойных трубок есть иррациональное число, то в сумме (4) имеется только одно слагаемое с q=0 и энергия связи не зависит от параметров z1 и z2, т.е. является константой, теоретически это обозначает, что две трубки мы можем рассматривать как наноподшипник продольного скольжения.
