Дендримеры (от греческого ”dendron” - дерево) – это полимеры, имеющие разветвленное строение (рис. 1). Структурные элементы, находящиеся в узлах, назовем мономерами. Наиболее важным свойством дендримеров является то, что на каждом этапе роста молекулы происходит очередное разветвление, вследствие чего количество мономеров значительно увеличивается с добавлением каждого последующего слоя (под слоем будем подразумевать совокупность мономеров отделенных от центрального одинаковым числом связей). В процессе роста форма дендримера постепенно приближается к сферической (рис. 2).
Определите число мономеров в дендримере с N полностью заполненными слоями, если каждый мономер связан с тремя другими (центральный мономер считаем нулевым слоем). (2 балла)
Назовем радиусом дендримера расстояние от центрального мономера до наиболее удаленного от него мономера внешнего слоя. Рассчитайте радиус R дендримера, содержащего N слоев, считая, что расстояние между соседними мономерами равно r а углы между связями 120° (рис. 3). Отдельно рассмотрите случаи четных и нечетных N. В дальнейших расчетах используйте формулу для четных N. (3 балла)
С ростом N число мономеров в молекуле возрастает быстрее, чем ее размер, и, следовательно, дендример не может неограниченно расти по данному механизму (с максимальным разветвлением в каждом слое). Начиная с определенного размера, количество мономеров в новом слое не может превосходить некоторого значения, зависящего от номера слоя.
Примем, что все мономеры N-го слоя расположены на сфере радиуса RN (см. пункт 2), а изменение механизма роста происходит, когда площадь сферы будет равна общей площади мономеров (каждый мономер занимает площадь S). Определите номер слоя Nc, при котором происходит изменение механизма роста (составьте уравнение для нахождения Nc). (2 балла)
Рассчитайте количество мономеров в дендримере при N > Nc. (3 балла)
Как будет изменяться плотность дендримера в зависимости от числа слоев, постройте качественный график (без проведения расчетов). (2 балла)
