1. Уравнение движения

Задача о движении частицы в оптической ловушке эквивалентна задаче о движении броуновской частицы. Из-за температурных флуктуаций в жидкости, в которую помешена частица, частица совершает случайные колебания. Уравнение движения захваченной частицы (в проекции на ось x) имеет вид: (1)

Здесь должны быть сделаны следующие допущения:

• Сила вязкого трения, действующая на частицу равна (2), где R – радиус частицы, η – динамическая вязкость (формула Стокса)
• Всю массу считаем сосредоточенной в частице, массой макромолекулы пренебрегаем
• Колебания частицы малы и считаются линейными (при смешении частицы из положения равновесия на нее действует возвращающая сила, пропорциональная смещению с эффективным коэффициентом жесткости k_eff)
• Эффективный коэффициент жесткости k_eff считаем слагающимся из двух частей: из коэффициента жесткости оптической ловушки и коэффициента жесткости макромолекулы: (3)
• Аналогичное уравнение можно записать и в проекции на ось у: (4)
• с той лишь разницей, что в этом случае вместо эффективного коэффициента жесткости стоит коэффициент жесткости оптической ловушки (в поперечном направлении считаем, что макромолекула не вносит изменения в колебания частицы).

2. Оценка членов в уравнении движения

Сравним вклад различных слагаемых в уравнениях движения (1, 4). Движение частицы можно представить как набор гармоник, тогда уравнения движения перепишутся в виде: (5)

где X₀, Y₀ – амплитуды соответствующих Фурье-гармоник колебаний частицы в ловушке. Сравним модули первых двух слагаемых и определим частоту на которой они сравниваются.

Оценим массу и коэффициент сопротивления для суспензии частиц радиусом 1 мкм и плотностью 5 г/см³ (SiO₂): (17). Вклад от первых двух слагаемых сравняется при характерный частотах порядка (18), что значительно превышает частоты, наблюдаемые в эксперименте. (По условию, частота дискретизации АЦП равна 10кГц, и более высокие частоты не наблюдаются.) На наблюдаемых частотах вклад первого слагаемого на три порядка меньше второго. Таким образом, первым слагаемым можно пренебречь и считать осциллятор сильно затухающим. Уравнения движения примут вид: (6)

Где характерные частоты равны: (7)

3. Выражение для случайной силы (броуновское движение)

Выражение для броуновской силы (может быть найдено в учебнике по статистической физике или найдено самостоятельно): (8)

(Считаем случайный процесс дельта-коррелированным.)

4. Получение выражения для спектра мощности колебаний частицы

Подставив выражение для броуновской силы в исходное уравнение движения, и, рассматривая фурье-образ автокорреляционной функции (т.е. спектр мощности) колебания частицы в ловушке, получаем выражение для спектра мощности: (9)

5. Получение выражения для автокорреляционной функции

Автокорреляционная функция и спектр мощности связаны преобразованием Фурье. Проводя обратное Фурье преобразование спектра мощности, получаем для автокорреляционной функции: (10)

6. Определение «характерной частоты» по графикам

Из графиков «характерные частоты» для колебаний по осям х и у равна соответственно: (11)

7. Оценка коэффициентов жесткости, определение коэффициента жесткости ловушки и макромолекулы

Коэффициент жесткости ловушки равен: (12)

8. Оценка максимального смешения

При хорошей фокусировке размер области фокусировки (и, соответственно, размер оптической ловушки) сравним с длиной волны. Считая в пределах ловушки ее потенциал равным потенциалу гармонического осциллятора, а вне ловушки – равным нулю, максимальную силу можно оценить следующим образом: (13). Максимальное смещение соответственно равно: (14)

Ответы:

Коэффициент жесткости ловушки и молекулы соответственно равны: (15)

Максимальное смещение равно: (16)