Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера: В – Р + Г = 2
где В, Р, Г – это , соответственно, число вершин, рёбер и граней многогранника. Рассмотрим далее многогранники, в каждой вершине которых сходятся три ребра. Пусть такой многогранник содержит Г3 треугольных, Г4 четырёхугольных, Г5 пятиугольных,Г6 шестиугольных, Г7 семиугольных, Г8 восьмиугольных, …, Гn n-угольных граней и все многоугольники являются правильными.
1. Чему равно число вершин и число ребер в таком многограннике? Запишите формулу Эйлера для данного многогранника через Г3, Г4, Г5, Г6, …, Гn. (1,5 балла)
2. Для каких n существуют многогранники, у которых все грани - n-угольники? Найдите количества граней в таких многогранниках. Как они будут называться? (1,5 балла)
3. «Раздвинем» в пространстве n-угольники в многогранниках из предыдущего пункта и построим новые многогранники, в которых «раздвинутые» n-угольники будут гранями, не имеющими общих вершин. Какое минимальное число вершин должно быть в новых многогранниках? Какие грани будут разделять исходные многоугольники? Назовите полученные многогранники – каждый в отдельности и общее название класса. (2,5 балла)
4. Можно ли полученные в п.3 многогранники встретить в наномире, и если – да, то где? (1,5 балла)
