В статье "Carrier statistics and quantum capacitance of graphene sheets and ribbons", опубликованной недавно группой американских исследователей в журнале Applied physics letters, рассматриваются фундаментальные аспекты статистики носителей заряда в графене и графеновых нанолентах.
Графен (слой атомов углерода, соединенный sp2 связями в двумерную гексагональную сетку) в последнее время привлекает большой интерес исследователей по всему миру. Было показано, что графеновые листы обладают нулевой запрещенной зоной и линейным законом дисперсии в зоне проводимости и валентной зоне:
где s = +1 для зоны проводимости и s = -1 для валентной зоны, ћ – постоянная Планка, деленная на 2π; vF ~ 108 см/с – фермиевская скорость носителей заряда в графене; 
- волновой вектор носителей в плоскости графенового листа (x- y).
В отсутствие примесей и дефектов в условиях термодинамического равновесия графен характеризуется собственной концентрацией свободных электронов в зоне проводимости и собственной концентрацией дырок в валентной зоне, аналогично объемным полупроводникам.
Плотность 2D электронного газа можно записать как
где f(E) - функция распределения Ферми-Дирака 
, ρgr(E)- плотность состояний. Проинтегрировав и приняв для простоты обозначения u=E/ kT и η=EF/kT, электронную плотность можно записать как
И, аналогично, плотность дырок
где 
- интеграл Ферми-Дирака.
В термодинамическом равновесии и при отсутствии внешних воздействий (нет внешнего электрического поля, нет освещения) уровень Ферми постоянен и, более того, совпадает по энергии с точкой Дирака (|k| = 0). Это положение принимают за 0 энергии. Таким образом,
Следует отметить, что полученная температурная зависимость собственной концентрации носителей заряда в графене имеет не экспоненциальный, а квадратичный характер. Это связано с отсутствием запрещенной зоны графене и линейным законом дисперсии. При комнатной температуре собственная концентрация электронов и дырок достигает около 9·1010 см-2.
Совершенно другая ситуация наблюдается в случае графеновых нанолент, которые характеризуются конечной шириной W. Хотя многие экспериментальные данные свидетельствуют о том, что энергетические параметры графеновых нанолент зависят от хиральности, в данной статье этим пренебрегают и рассматривают случай изотропного распределения моментов носителей в плоскости ленты. Если направить ось х вдоль ленты, то волновой вектор электронов в направлении y квантуется ky=nπ/W ( n = ±1, ±2, …) и уравнение дисперсии преобразуется:
Таким образом, валентная зона и зона проводимости расщепляются на одномерные подзоны. Из-за квантово-размерного эффекта в энергетической диаграмме графеноой ленты открывается запрещенная зона Eg=2πћvF/W, ширина которой зависит только от фермиевской скорости электронов и от ширины ленты. При этом уровень Ферми остается в точке Дирака, то есть EF=0. Это значит, что уровень Ферми в условиях термодинамического равновесия и при отсутсвии внешних сил в графеновой наноленте находится посередине запрещенной зоны.
Собственная концентрация электронов в ленте:
На рисунке ниже приведены рассчитанные значения собственных концентраций носителей для графена и графеновых нанолент.
Эти картинки показывают, что собственная концентраия носителей в графеновой наноленте значительно отличается от концентрации в графене, если ширина ленты меньше 100 нм.
Концентрация носителей заряда в графене может быть изменена при наложении внешнего электрического поля. Это явление называется полевым эффектом и лежит в основе работы полевых транзисторов, которые являются важной составной частью современной электроники.
При наложении поля уровень Ферми в графене смещается из точки Дирака (E=0) на EF=η kT. То есть, уровень Ферми оказывается или в зоне проводимости, или в валентной зоне (в зависимости от знака приложенного поля), что приводит к увеличению концентрации свободных носителей заряда при данной температуре.
В случае графеновых нанолент, где уровень Ферми при наложении небольших внешних полей остается в запрещенной зоне, концентрация электронов может быть записана как n≈nieη (для дырок аналогично p≈ nie-η), что совпадает с выражениями для обычных полупроводников. На рисунке ниже показаны рассчитанные концентрации носителей зарядов в графене и графеновых нанолентах разной ширины в зависимости от расположения уровня Ферми при комнатной температуре. При больших значениях поля уровень Ферми в нанолентах так же, как и в графене попадает внутрь разрешенной зоны и, следовательно, концентрация носителей в графеновых нанолентах сходна с таковой в графене.
В статье также приведен расчет важной величины – квантовой емкости графена и графеновых нанолент и рассчитаны ее зависимости от приложенного поля.
Автор перевода: Павел Хохлов
