Рис.1 а) Плоские проекции «шапочек»*, б) получение фуллерена «склеиванием» двух «шапочек».
Между самым маленьким фуллереном C20 и бакиболом C60 существует множество простых фуллеренов. Некоторые из них можно получить, «склеив» друг с другом две простые «шапочки» (рис.1).
1. Используя теорему Эйлера для выпуклого многогранника, найдите, сколько пяти- и шестиугольников содержит произвольный фуллерен Cn. (1 балл)
2. Постройте «шапочки», содержащие 1, 2, 3 и 4 шестиугольника** (5,5 балла). Сколько вершин добавляет в «шапочку» каждый новый шестиугольник? (0,5 балла) Приведите формулы низших фуллеренов Cn, которые можно получить, комбинируя такие «шапочки». (2 балла)
*Пятиугольники распределены поровну между двумя «шапочками», каждому числу шестиугольников соответствует только одна «шапочка».
**В ответе можно привести либо проекции «шапочек», либо дать их полное словесное описание (в каком порядке пяти- и шестиугольники расположены в «шапочке»).
