1 Немного истории и теории
Благодаря многолетним научным изысканиям ученых В.Веселаго, Дж.Пендри, и других теоретиков, посвятивших свои труды изучению левосторонних материалов, Шелби, Шультцу и Смиту удалось создать впервые в истории науки искусственную среду, в которой электрическая и магнитная проницаемости одновременно отрицательны в микроволновом диапазоне длин волн. Это стало открытием новой эры в истории оптики, поскольку такие среды обладают необычными свойствами благодаря аномальным эффектам. С тех пор многие группы ученых, которые занимаются левосторонними средами, создали свои прототипы этих сред для самых разных частот электромагнитного диапазона.
Конечно же, необычные свойства сред с отрицательным показателем преломления являются многообещающими и для оптики, и оптоэлектроники, средст связи, и как следствие, это бурно развивающееся направление физики быстро привлекает внимание ученых и исследователей, жаждущих получить при помощи левых сред суперлинзы (могут позволить рассмотреть даже самые мелкие объекты за счет ближнепольного излучения, теоретически не имеют дифракционного предела), полосовые фильтры, светоизлучающие устройства, даже мантии-невидимки (ведь по теории свет преломляется в таких материалах в ту же, левую сторону, откуда и падает на поверхнос ть, отсюда и название "левосторонние", а значит, может как бы огибать объект, и тот становится для нас невидимым).
Вообще, поверхностным поляритоном называется электромагнитная волна (ЭМВ), распространяющаяся вдоль границы раздела двух сред и существующая в обеих средах одновременно. Поля, переносимые этими волнами, локализованы вблизи поверхности и затухают на небольшом расстоянии от нее. На рисунке 1 представлено схематическое изображение поляритона, когда Е-составляющая поля лежит в плоскости z (Е-поляризация). Поверхностные поляритоны описываются уравнениями Максвелла с учетом граничных условий. Уравнение, описывающее распределние каждой из компонент поляритона в общем виде представлено также на рисунке 1, где А0-амплитуда, kappa1,2 - коэффициент затухания поляритона в средах 1 и 2, знак "+" относится к среде 1, "-" относится к среде 2.
В данной статье мы сосредоточим свое внимание на распространении поверхностных поляритонов в неоднородном образце левостороннего материала. Рассмотрим влияние кривизны поверхности на дисперсионные характеристики и на затухание. Поверхностные поляритоны играют важную роль в так называемых суперлинзах или фотонных интегральных схемах, обещающих увеличить скорость работы компьютеров в разы. В настоящее время изучение данной проблемы является важным и в свете возможного применения левосторонних материалов для производства волоконных линий связи на их основе
2 Поверхностные поляритоны в левосторонних средах
2.1 Общие замечания
Рассмотрим симметричный образец толщины d из левостороннего материала (II материал), погруженный в среду (I материал), электрофизические параметры которой не зависят от частоты и положительны. Также здесь и далее считаем потери пренебрежительно малыми, а значит, мнимые слагаемые электрофизических параметров равны нулю: ε1 > 0, µ1 > 0. Электрофизические параметры второй (левой) среды равны ε2(ω), µ2(ω) и даются (формулами 1,2).
где 0 < F < 1 и ωb2= ω02/1−F. Параметры ωp, ω0 , F зависят от структуры левой среды, но мы не приписываем им никакого микроскопического значения. Считаем, что для частот 0<ω0 < ω < ωb< ωp, где ωp - частота плазмонного резонанса, ε2(ω)<0. Для частот ω∈ (0,ωp), а µ2(ω) < 0 для частот ω∈ (ω0,ωb). В этом диапазоне среда является левой. Для более полного описания всех явлений вводим известные понятия показателя преломления и волнового числа (формулы 3,4).
Мы не берем во внимание третью z-координату пространства, а рассматриваем 2-х мерный случай распространения электромагнитной волны. H- и E- компоненты поля будем рассматривать отдельно. H-компонента поля параллельна оси z, а используя уравнения Максвелла, легко показать, что она удовлетворяет уравнению Гельмгольца (формулы 5), где x = (x,y). Из непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного поля на границе раздела сред для y =±d/2 следует для компонент магнитного поля (макроскопический ток отсутствует для равенства нормальных составляющих H) формула 6.
Аналогично для Е-компоненты поля получим уравнение Гельмгольца и граничные условия (для электрической компоненты нормальные составляющие Е всегда равны, в отличие от индукции D, равенство нормальных компонент для которой выполняется в отсутствие макроскопического заряда на поверхности раздела) (формулы 7,8).
Наконец, необходимо отметить, что математические решения можно разделить на четные (или симметричные) и нечетные (или асимметричные) моды благодаря симметрии волновода при замене y→−y.
2.2 Решения для Н-компоненты
Решения уравнения Гельмгольца для магнитной составляющей представляются следующими уравнениями (формула 9), где f+(βy)= cosh(βy) и f−(βy)= sinh(βy), буквой h указаны гиперболические функции, а знаки +/- представляют соответственно четные и нечетные решения уравнения, в формуле k-волновое число, представляющее распространение волны вдоль оси х, α и β – функции, представляющие затухание поля у поверхности. Подставляя (9) в (5,6), получим с одной стороны (формулы 10-11), а с другой - (формулы 12-13) для четных решений и (формулы 14-15) для нечетных решений. Этими формулами дается дисперсионные зависимости для магнитной составляющей поля. Также потребуем выполнения условий (формула 16), которыми обеспечивается само существование поверхностных поляритонов. Уравнения для электрической составляющей поля абсолютно аналогичны, лишь вместо ε нужно писать µ (явление симметрии).
2.3 Численный аспект
На рисунке 2 показана дисперсия поверхностных поляритонов образца в вакууме (ε1 = 1, µ1 = 1) в единицах kr и ωr, описываемых (формулой 22). Рассматривая характеристики левой среды, отметим значения параметров F = 0.4, ωr0 = ω0d/c = 0.552, ωrb = ωbd/c≈0.7127, ωrp = ωpd/c = 1.104. Но даже не смотря на выбор определенных параметров, полученные результаты остаются приблизительными, но позволяют с достаточной точностью подтвердить теорию. Параметры дисперсионных кривых не зависят от ε1. Они были получены многими учеными, однако хочется отметить инверсию наклона дисперсионной кривой (как и последствия этого), которая возникает для двух кривых и соответствует четным составляющим поверхностных поляритонов в частотном диапазоне ωr0 < ωr < ωrp. Обозначим через ωrsH и ωrsE инверсные частоты для магнитной и электрической компонент поля (рисунок 3).
Для магнитной составляющей поля в области меньших ωrsH частот существует два значения kr, связанных с двумя состояниями поверхностных поляритонов. Для меньшего kr наклон кривой к оси абсцисс положительный и, следовательно, групповая и фазовая скорости поверхностного поляритона положительны и поверхностный поляритон ведет себя самым обычным образом. Для большего kr наклон кривой отрицательный,и как следствие, групповая и фазовая скорости направлены в разные стороны и поверхностный поляритон ведет себя по-левостороннему.
3 Поверхностные поляритоны левосторонних сред
3.1 Общие замечения
Рассмотрим образец левого материала, который изогнут согласно (рисунку 4). Все наши предыдущие договоренности касательно пренебрежения z-координатой, отдельным рассмотрением H- , E-составляющих и т.д. остаются в силе. Единственным отличием искривленного образца является невозможность разделения решений уравнений Гельмгольца на четные и нечетные. Это связано с нарушением симметрии образца (см.рисунок 4).
3.2 H-составляющая
Решения уравнения Гельмгольца для магнитной составляющей поля представляются (формулой 25) с помощью бесселевых функций, где λ – азимутальная комплексная константа, описывающая распространение поляритонов вдоль кривой линии, κ1(ω) и κ2(ω) – волновые числа, по-прежнему описываются (формулами 4). Подставляя выражения для компонент поля (формула 25) в уравнения граничных условий (6), получим матричный вид, связывающий как амплитуды ЭМП, так и бесселевы функции, электрофизические параметры, волновое число и др.. Их вид громоздкий и приводить их здесь не будем.
3.3 Численные результаты
Будем считать, что толщина левого слоя гораздо меньше радиусов кривизны искривленного образца, а также что сами радиусы кривизны приблизительно равны. Считаем, что поляритоны распространяются по радиусу кривизны а, тогда длина дуги L =aϕ. Тогда комплексное волновое число, описывающее распространение поляритонов вдоль кривой поверхности, k = λ/a, где λ - комплексный угловой момент. Это выражение, которое можно разделить как на действительную, так и на мнимую части, - дисперсионное соотношение, описывающее затухание поверхностных поляритонов. Полученные зависимости показаны на рисунке 5 и 6. Видно, что в отсутствие искривления мнимая часть равна нулю, а значение параметра ε1 (все происходит в вакууме) не влияет на результат. kr и ωr (нормированные на d/c величины) описываются (формулой 22) с учетом введенных формул в этом разделе. Необходимо отметить, что используются одни и те же обозначения для нормированной частоты ωr для прямого и искривленного образца. Из полученных графиков видно, что искривление приводит к затуханию поверхностных поляритонов (см. рисунки 5,6,7,10). Однако затухание происходит не во всех случаях (см. рисунки 8,9,11,12). Только для частотного диапазона ωr > ωr0 для "нечетных" поверхностных поляритонов и для "четных" поляритонов с левостронним поведением.
Результаты
Рассмотренные количественные и качественные характеристики поверхностных поляритонов указывают на возможность их распространения без потерь, из графиков следует, что это справедливо для левосторонних поляритонов (фазовая и групповая скорости не совпадают по направлению). Это имеет практический интерес и для телекоммуникаций, и для оптических интегральных схем, возможной основы будущего оптического компьютера. Интересна возможность передачи информации при помощи левосторонних волноводов без потерь (то есть с очень малыми потерями, по крайней мере на затухание, как в случае с поляритонами).
Список использованных источников
[1] Surface polaritons of a left-handed curved slab. Mounir Faddaoui, Antoine Folacci, and Paul Gabrielli.
, а потому, что вектора Е, Н и к в них связаны левой тройкой, а не правой как в обычных средах. 