Бинарная теория - любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Для решения поставленной задачи, необходимо выразить само число и все слагаемые через одно число.
Для 2: 2=х1, 3=х1+1, 5=х1+3, 7=х1+5, 9=х1+7, 11=х1+9, 13=х1+11, 15=х1+13, 17=х1+15, 19=х1+17, 21=х1+19, 23=х1+21.
Для 3: 2=х1-1, 3=х1, 5=х1+2, 7=х1+4, 9=х1+6, 11=х1+8, 13=х1+10, 15=х1+12, 17=х1+14, 19=х1+16, 21=х1+18, 23=х1+20.
Для 5: 2=х1-3, 3=х1-2, 5=х1, 7=х1+2, 9=х1+4, 11=х1+6, 13=х1+8, 15=х1+10, 17=х1+12, 19=х1+14, 21=х1+16, 23=х1+18.
Для 7: 2=х1-5, 3=х1-4, 5=х1-2, 7=х1, 9=х1+2, 11=х1+4, 13=х1+6, 15=х1+8, 17=х1+10, 19=х1+12, 21=х1+14, 23=х1+16.
Составляем подобные выражения до числа 23 (для примера, ограничимся числом 23). 
Разложим числа 7,9,11 на три слагаемые.
Для 2=х1 : 4 = 2+2 или х1+2=х1+х1 или х1+2=2х1
Для 3=х1: 6=3+3 или х1+3=х1+х1 или х1+3=2х1
8=3+5 или х1+5=х1+х1+2 или х1+5=2х1+2
10=3+7 или х1+7=х1+х1+4 или х1+7=2х1+4
16=3+13 или х1+13=х1+х1+10 или х1+13=2х1+10
Подобным образом заполним таблицу. Для удобства дальнейших расчетом протягиваем арифметическую прогрессию.
Таблица.
		х1 = 2	х1 = 3	х1 = 5	х1 = 7	х1 = 9	х1 = 11	х1 = 13	
1.	4 = 2+2	2х1	2х1-2	2х1-6	2х1-10		2х1-18	2х1-22	
2.	6 = 3+3	2х1+2	2х1	2х1-4	2х1-8		2х1-16	2х1-20	
3.	8 = 3+5	2х1+4	2х1+2	2х1-2	2х1-6		2х1-14	2х1-18	
4.	10 = 3+7
10 = 5+5	2х1+6	2х1+4	2х1	2х1-4		2х1-12	2х1-16	
5.	12 = 5+7	2х1+8	2х1+6	2х1+2	2х1-2		2х1-10	2х1-14	
6.	14 = 3+11
14 = 7+7	2х1+10	2х1+8	2х1+4	2х1		2х1-8	2х1-12	
7.	16 = 11+5
16 = 3+13	2х1+12	2х1+10	2х1+6	2х1+2		2х1-6	2х1-10	
8.	18 = 11+7
18 = 13+5	2х1+14	2х1+12	2х1+8	2х1+4		2х1-4	2х1-8	
9.	20 = 3+17
20 = 7+13	2х1+16	2х1+14	2х1+10	2х1+6		2х1-2	2х1-6	

Алгоритм решения.
1). Получили арифметическую прогрессию, начиная с х1 = 3.
Разность арифметической прогрессии (по вертикали) d1=2.
Разность арифметической прогрессии (по горизонтали) d2=-4 (исключение составляет d2 (-2) между х1 = 2 и х1 = 3).
2). Одинаковые два слагаемые.
Рассматриваем горизонтальный ряд для числа 10. Для вычислений используем только вторые слагаемые. Получаем ряд: 6,4,0 (2х1),-4,-8,-12,-16. 
Если отсутствует второе слагаемое, т.е. 0 (2х1), то данное число раскладывается на два одинаковых слагаемых, каждое из которых равно х1. 
		х1 = 2	х1 = 3	х1 = 5	х1 = 7	х1 = 9	х1 = 11	х1 = 13	
	10 = 3+7
10 = 5+5	2х1+6	2х1+4	2х1	2х1-4		2х1-12	2х1-16	
В нашем случае, 10=5+5.
Если сумма второго слагаемого и х1 равна простому числу, то данное число можно разложить на два слагаемые:  х1  и слагаемое, являющейся суммой второго слагаемого и х1.
		х1 = 2	х1 = [3]	х1 = 5	х1 = [7]	х1 = 9	х1 = 11	х1 = 13	
	10 = 3+7
10 = 5+5	2х1+6	2х1+[4]
[3+4=7]	2х1	2х1[-4]
[7-4=3]		2х1-12	2х1-16	
В нашем случае, 10=3+7.
Если сумма второго слагаемого и х1 не равна простому числу, то данную комбинацию пропускаем.
Вывод.  Любое четное число, больше 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел, рассматривая соответствующие арифметические прогрессии. Существует три варианта:
1). Два одинаковых слагаемых.
2). Два слагаемых разные.
Доказано.